有限会社で代表取締役を定めていたが、
取締役が辞任や死亡したために、取締役が１名となった場合、
今後も代表取締役という肩書を使うのであれば、後任の取締役を選任しなければなりません。

有限会社の取締役が１名のとき「代表」取締役としては登記ができないからです。
この取締役はこの有限会社の代表として法律行為（たとえば契約）を行う
代表権を持つのですが、あくまで住所と氏名しか登記しません。

したがいまして、以下のような登記記録をすることになります。
「○○○○有限会社
　取締役　□□　□□」

ある有限会社に取締役が２名以上いて、そのうちの１名を代表権を持つ取締役、
その他を代表権がない取締役と定めた場合は、以下のような登記記録をすることになります。
「○○○○有限会社
　代表取締役　□□　□□」

このようなケースでも株式会社の場合は、
取締役が１名でも代表取締役として以下のような登記記録になるので
有限会社から株式会社に移行することも一案です。
「△△△△株式会社
　代表取締役　☆☆☆☆」

なお、取締役が複数いる有限会社で、その取締役全員が代表権を持つ場合も
全員「取締役」として登記することになります。
この有限会社に代表権がない取締役が存在しないからです。

有限会社の取締役が１名であればその取締役が社長、つまり代表権を持つ取締役として
代表取締役という肩書を使いたいと考えるビジネスでの感覚と、
登記では異なりますのでご注意をお願いします。